Verlorene Unschuld

Keith Devlin grüßt den Mathematiker Kurt Gosdel, die 95 am Samstag gewesen wäre

T seine kommenden Samstag feiert den Geburtstag des Mathematikers Kurt Gödel. Im damaligen Österreich, am 28. April 1906 geboren, verhungern starb in Princeton, New Jersey am 14. Januar 1978, entwickelt eine Paranoia, dass er vergiftet wurde und infolgedessen Gödel selbst (eine ganz merkwürdige Ende für eines der größten Logiker, die die Welt je gekannt hat).

Vor zwei Jahren, als das Time magazine eine Umfrage zu bestimmen, der 20 einflussreichsten Denker des 20. Jahrhunderts, war Gödel einer der nur zwei Mathematiker in der Partitur. Er kam im neunten, vor der Astronom Edwin Hubble, Physiker Enrico Fermi, Philosoph und Ökonom John Maynard Keynes, Transistor Erfinder William Shockley, Biochemiker James Watson und Francis Crick Entdecker der Doppelhelix-Muster von DNA, Polio-Impfstoff-Entwickler Jonas Salk und World Wide Web Creator Tim Berners-Lee. (Albert Einstein landete als Zeit der Person des Jahrhunderts.)

Gödel ist bekannt für seine Entdeckung im Jahre 1931 von der berühmten Gödel Unvollständigkeitssatz. Jeden Tag gesehen sagt, dass egal wie hart Sie versuchen, werden Sie nie in der Lage, alle Mathematik auf die Anwendung von festen Regeln zu reduzieren. Unabhängig davon, wie viele Regeln und Verfahren, die Sie aufschreiben, werden immer einige Tatsachen, die Sie nicht beweisen können.

Manche Wissenschaftler, vor allem der Oxford Mathematiker und Physiker Sir Roger Penrose, habe Gödels Unvollständigkeitssatz um zu argumentieren, dass das menschliche Gehirn nicht wie ein Computer arbeitet, und insbesondere, dass künstliche Intelligenz nicht erreichbar ist. Nach Penrose Interpretation von Gödels Theorem hat Mathematik ein Element, das ganz kreativ ist.

Die obige Zusammenfassung der Unvollständigkeitssatz ist ein bisschen, ich wage zu behaupten, unvollständig. Hier ist was Gödel wirklich tat.

Da Mathematik beschäftigt sich mit Abstraktionen, können nicht Sie mathematische Fakten herstellen, durch Beobachtungen in der Welt oder die Art und Weise, andere Wissenschaftler tun experimentieren. Sie müssen Beweise - logisch fundierte Argumente verwenden. Diese Argumente müssen irgendwo anfangen. Also, starten Sie durch einige ursprüngliche Reihe von Grundannahmen, bekannt als Axiome aufschreiben.

Die Axiome sollen so einfach sein, dass ihre Wahrheit außer Frage steht. Dinge wie zwei gerade Linien sind entweder Parallel oder sonst treffen sich in genau einem Punkt oder beim Hinzufügen von zwei Zahlen, die es nicht egal welches anfängt. (Das erste dieser beiden Beispiele erwies sich als weniger "offensichtlich wahr" als erste erschienen, aber das ist eine andere Geschichte.)

Sobald Sie die Axiome aufgeschrieben haben, versuchen Sie um zu entscheiden, ob eine bestimmte Aussage wahr oder falsch, ist es aus den Axiomen beweisen.

Diese Art und Weise Mathematik wurde von den alten Griechen 2.500 Jahre vor, und arbeitete auch im Laufe der Geschichte eingeführt. Es wurde immer davon ausgegangen, dass das einzige, das verhindern, könnten Sie in der Lage zu entscheiden, die Wahrheit oder Falschheit der mathematischen Fragen der aufkam war, wenn Sie eine oder mehrere Grundannahmen in Ihrer Liste von Axiomen umzusetzen übersehen hatte. Und das war einfach zu beheben: Fügen Sie einfach in den fehlenden Axiom(s).

Gödel dieser Glaube erschüttert und verändert unser Verständnis der Mathematik. Seinem Unvollständigkeitssatz sagt, dass Sie nie genug Axiome finden können. Egal wie sorgfältig Sie versuchen, um sicherzustellen, habe Sie aufgeschrieben die grundlegenden Annahmen, es werden immer einige Fragen, die Sie nicht beantworten können. Mathematisches Wissen ist dazu bestimmt, für immer unvollständig bleiben.

In der Tat ist die Situation noch schlimmer. Gödel ging auf um zu zeigen, dass eine der Fragen, die Sie nicht beantworten können ob Ihre ausgewählten Satz von Axiomen in Einklang steht. Sie können nie sicher sein, dass Sie nicht in Ihre Axiome aufschreiben, einen Fehler gemacht und einige subtile Konflikte führte.

Bis Gödels Resultat, jeder davon aus, dass im Gegensatz zu den anderen Wissenschaften, Mathe Matics absoluter Sicherheit und einen Pfad zu perfektionieren, angeboten sicher wissen. Das ist in gewisser Weise immer noch wahr. Pythagoras Lehrsatz über rechtwinklige Dreiecke ist heute ebenso wahr wie es war, als es wurde zuerst vor 3.000 Jahren nachgewiesen, und es für immer wahr bleibt. Sobald ein Mathematiker etwas bewiesen hat, ist es die Wahrheit dauerhaft. (Anders als in jede andere Wissenschaft, wo Theorien werden ständig geändert oder aufgehoben.) Was entdeckte Gödel war jedoch, dass diese Art von Gewissheit sich nicht auf alle Fragen der Mathematik erstreckt. Einige bleiben darüber hinaus Beweis. Wenn Sie, dass eine solche Aussage wahr ist denken, müssen Sie einfach, es als einen Akt des Glaubens zu nehmen.

In diesem Sinne kann Gödels Entdeckung als das Ende des Zeitalters der Unschuld auf dem Gebiet der Mathematik angesehen werden.

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