Die Fourier-Transformation können Sie Ihren Kuchen haben und es verstehen

Die Zutaten für ein Durcheinander auseinander zu necken hilft Wissenschaftlern, komplexe Dinge zu studieren, die im Laufe der Zeit und Raum ändern

Ist eine mathematische Idee, die gilt selbst für fast alles, was im Alltag aber fast unbekannt außerhalb der Welt der Wissenschaft, hat die Fourier-Transformation der meisten unbesungenen Anwärter sein. Es öffnet sich überall dort, wo die Wissenschaftler müssen komplexe Dinge zu studieren, die schwanken in der realen Welt – sound, Wärme, Licht, Lager Preise – und wurde verwendet, um das Signal von dem Lärm in für Astronomie, Medizin, Genetik und Chemie erhobenen Daten zu trennen. Es ist auch die wichtigste Gleichung in der Kompression digitale Bild-und Tonübertragung im Web verwendet.

Der Physiker Lord Kelvin nicht übertrieben, als er im Jahre 1867 schrieb: "Fourier Theorem ist nicht nur eines der schönsten Ergebnisse der modernen Analyse, aber man kann sagen, ein unverzichtbares Instrument bei der Behandlung von fast allen recondite Frage in der modernen Physik zu liefern."

Die Gleichung wurde von dem Mathematiker Baron Jean Baptiste Joseph Fourier entwickelt und erschien in seiner endgültigen Form in seinem Buch von 1822, Analytische Theorie der Wärme. Wie der Titel andeutet, Fourier war vor allem interessiert, wie Wärme rund um Materialien floss aber sein mathematische Werkzeug erwies sich als grundlegender als vielleicht er merkte.

Im Wesentlichen heißt es, dass jedes komplexe wellenartigen Signal, die, das Sie interessieren, zu messen, das schwankt über Zeit und Raum, eine Summe von Vertrautem, regelmäßige, aufgeschlüsselt werden kann Sinuswellen – der Typ, der Rollen über den Wipfeln der Ozeane oder entlang Saiten vibrieren. Denken Sie an Ihr komplexes Signal als einen Kuchen. Es enthält Mehl, Zucker, Eiern und Butter, aber Sie keines dieser Dinge einzeln schmecken, wenn Sie einen Bissen des fertigen Produkts zu nehmen. Wenn der Kuchen die Wellenform ist, ist das Rezept der Fourier-Transformation, eine Liste der Zutaten und wie man sie kombinieren. Wenn Sie die endgültige Wellenform (Kuchen) irgendwie anpassen möchten, ist es viel einfacher, durch die Isolierung der Zutaten zuerst tun.

Fourier Einsicht war, die Regelmäßigkeit in, in der realen Welt, ein wirres Durcheinander von Komplexität sieht enthaltenen zu isolieren. Der Begriff F(s) heißt die Transformation und gibt Ihnen die Eigenschaften der spezifischen sinusförmige Komponente des Signals mit der Frequenz "s". Insbesondere gibt es die Amplitude (die maximale Höhe der Welle oben und unter dem Gefrierpunkt) und Phase (wie viel von einer Welle Zyklus bezogen auf einen festen Punkt abgeschlossen ist).

Auf der rechten Seite der Gleichung f (x) stellt wie Ihr Signal über den Raum schwankt (X ist die Koordinate der Position). Dies wird mit e (eine weit verbreitete Konstante in der Mathematik, gleich 2.718) potenziert mit x multipliziert mit s, i (die Quadratwurzel von-1) und Pi multipliziert. Dies gibt die Eigenschaften des Sinus Frequenz s aber, da wir möchten, dass die Summe aller Frequenzen, wird der Ausdruck auf der rechten Seite addiert, über alle Platz für die stetig steigenden Werten von s (die Addition wird durch die Integration Zeichen, durch das längliche "S" auf der linken Seite und "Dx" auf der rechten Seite dargestellt).

Um eine gute visuelle der Fourier-Transformation zu erhalten, schauen Sie sich eine grafische Equalizer auf ein altes HiFi-System. Die springenden Linien verleihen Sie die Stärken der einzelnen Frequenzen in der Musik an jedem beliebigen Punkt in der Zeit, als Spektrum. Dieses Spektrum ist in Echtzeit (wenn auch roh) Fourier-Transformation der Sound aus den Lautsprechern kommt.

In der Tat, das Ohr führt Fourier Transformation aller Zeiten (nicht mathematisch, aber du weißt was ich meine). Eine Schallwelle ist körperlich, eine Sammlung von Druckwellen, die durch die Luft bewegen, aber es ist nicht die Schwingungen, die sie in Ihr Trommelfell zu, die Sie erstellen "hören". Stattdessen die Komponenten des Innenohrs führen eine Art von Fourier-Transformation, die zusammengesetzten Druckwelle, Herausarbeitung jedes bestimmten Frequenz zu entwirren und ihre damit verbundenen Amplituden in bestellen zum Versteck in ein Spektrum der elektrischen Signale an das Gehirn gesendet. Ihr Gehirn interpretiert diese wechselnden Spektrum als Klang.

Die Fourier-Transformation stellt die gleichen Informationen wie das ursprüngliche Signal, aber in einer Weise, dass es einfacher für Ingenieure und Physiker, mit zu arbeiten.

Angenommen möchten Sie Musik oder Sprache Dateien zu komprimieren. Während Schallplatten analogen Sound in Oberfläche Grübchen und Rillen, die die Wellenform zu imitieren lagern, eine MP3-Datei listet Frequenzen und Amplituden-Fourier-Transformation – in jedem Moment in der Spur zu präsentieren. Dies erleichtert es zu filtern und die Datei komprimieren – Sie können die Informationen über Frequenzen außerhalb des Bereichs des menschlichen Gehörs. Diese Methode ist auch nützlich, wenn Sie möchten eine Aufnahme – bereinigen, ist ein Hintergrund-Brummen, die Fourier-Transform-Informationen können Sie zu isolieren und zu löschen die wichtigsten Frequenzen das Brummen und die Ruhe zu bewahren.

Die Transformation kann auch angewendet werden, um Bilder zu bereinigen, die im Wesentlichen nur zweidimensionale Signale sind in Farbe und Helligkeit über Raum schwanken. Ein Foto bei schwachem Licht, zum Beispiel, vielleicht haben eine Menge Lärm in Form von zufälligen Lichtflecken – nehmen die Fourier-Transformation des Bildes und herausfiltern kann. Dies ist besonders nützlich bei der Sanierung von astronomischen Bildern von Raumsonden, schärfen den Fokus auf einer Fläche von Interesse.

Einige der wichtigsten Anwendungen der Fourier-Transformation vorgenommen wurden, die präzise Anordnung der Atome in den Molekülen zu verstehen. Die Wissenschaft der Kristallographie Werke von glänzenden Röntgenstrahlen an einen Kristall des Stoffes (Salz, sagen wir, oder DNA oder ein Protein) untersucht werden soll. Die Röntgenstrahlen kommen von einer Seite, sind durch die Moleküle innerhalb verstreut und erzeugen ein Muster von Flecken auf der anderen Seite. Die Intensität und die Position von jedem Fleck informiert die Amplitude und Frequenz für die Fourier-Transformation der molekularen Struktur des Kristalls. Im Wesentlichen die Streuung von Röntgenstrahlen durch den Kristall geben die Fourier-Transformation des Moleküls innerhalb. Die Transformation rückwärts zu arbeiten, können Wissenschaftler Lichtstreuung verwenden, um die original 3D Molekülstruktur ableiten. Diese Methode ist wurde verwendet, um die Struktur der DNA in den 1950er Jahren erarbeiten und jetzt zu geben uns Einblicke in die Strukturen des komplexen Proteinen und sogar Viren.

Fourier-Transformationen dienen auch in der medizinischen Bildgebung, einschließlich MRI und CAT-Scans, Informationsverarbeitung und Gebäude im Erdbeben zurückzufallen zu stoppen. Wenn die Erde bebt, zeigen Ihnen eine Fourier-Transformation, welche Frequenzen der Schwingungen die meiste Energie mit ihrer Umgebung vermitteln. Ein Gebäude haben auch eine eigene natürliche Modi der Schwingung (eine komplexe Version wie eine Saite bei bevorzugte Frequenzen vibriert) und, wenn das Gebäude Eigenfrequenz eines Erdbebens übereinstimmt, es wird härter schütteln und eher nach unten fallen. Architekten und Bauingenieure können trainieren Sie ihre vorgeschlagenen Entwurf bevorzugt Schwingungsfrequenz mit Computermodellen und Verwendung von Informationen aus der Fourier-Transformation von lokalen Erdbeben, das Gebäude bevorzugte Frequenz einstellen, damit es die bestmögliche Chance der verbleibenden stehend, hat Katastrophe schlagen sollte.

Für mehr über die Wunder der Fourier Check-out Professor Stephen Curry Vortrag an der Royal Institution verwandeln: http://bit.ly/ri-fed