Was sind Fraktale, und warum sollte mich das interessieren?

Fraktalgeometrie ist ein Gebiet der Mathematik in den 1970er Jahren geboren und vor allem von Benoit Mandelbrot entwickelt. Wenn Sie bereits von Fraktalen gehört haben, haben Sie wahrscheinlich das Bild oben gesehen. Es heißt der Mandelbrot-Menge und ist ein Beispiel für ein Fraktal-Form.

Dieser Artikel erschien ursprünglich auf George Dallass blog , die Sie unbedingt probieren sollte aus. Es ist hier mit Georges Genehmigung nachgedruckt.

Die Geometrie, die Sie in der Schule gelernt wurde, wie man Formen machen; Fraktalgeometrie ist nicht anders. Während die Formen, die Sie in der klassischen Geometrie gelernt "glatt", wie einen Kreis oder ein Dreieck waren, sind die Formen, die aus Fraktalgeometrie "rau" und unendlich komplex. Fraktalgeometrie ist jedoch immer noch darum, Formen, Messung Formen und Formen, wie Schule zu definieren.

Es gibt zwei Gründe, warum Sie Fraktalgeometrie interessieren sollte:

(1) der Prozess, durch die Formen sind in der Fraktalgeometrie ist verblüffend einfach noch ganz anders als klassische Geometrie. Während klassische Geometrie Formeln verwendet, um ein Shape zu definieren, verwendet die Fraktalgeometrie Iteration. Es bricht also Riesen wie Pythagoras, Platon und Euklid und Köpfe in eine andere Richtung. Klassische Geometrie hat über 2000 Jahre Durchleuchtung genossen, Fraktalgeometrie hat nur 40 genossen.

(2) die Formen, die aus Fraktalgeometrie kommen aussehen, Art. Dies ist eine erstaunliche Tatsache, die schwer zu ignorieren. Wie wir alle wissen, gibt es keine perfekte Kreise in der Natur und keine perfekte Quadrate. Nicht nur das, aber wenn Sie Schau Bäume oder Berge oder Flusssysteme ähneln sie keine Formen einer, um in Mathe verwendet wird. Aber mit einfachen Formeln, die mehrere Male wiederholt, Fraktalgeometrie diese Naturphänomene mit alarmierenden Genauigkeit modellieren kann. Wenn Sie einfache mathematische verwenden können, um Dinge wie die Welt aussehen, wissen Sie, dass Sie auf einen Gewinner sind. Fraktalgeometrie tut dies mit Leichtigkeit.

Dieser Blog-Post geben einen schnellen Überblick wie fraktale Formen zu zeigen, wie diese Formen Natur ähneln können. Es wird dann weiter um zu reden, Dimensionalität, das ist eine coole Art, Fraktale zu messen. Es endet mit der Diskussion, wie Fraktalgeometrie auch vorteilhaft ist, weil die Zufälligkeit in der Struktur einer fraktalen Form eingeführt werden kann. Die Post benötigt fast keine Mathematik und umfasst viele hübsche Bilder

Wie erstelle ich eine Fraktal-Form

In der normalen Geometrie sind Formen durch einen Satz von Regeln und Definitionen definiert. Zum Beispiel besteht ein Dreieck aus drei geraden Linien, die verbunden sind. Die Regeln sind, dass wenn Sie die Länge von allen drei Seiten des Dreiecks haben es komplett auch definiert ist, haben Sie die Länge einer Seite und zwei entsprechende Winkel des Dreiecks auch definiert ist. Obwohl die Regeln für die Festlegung eines Dreiecks einfache, riesige Mengen an nützlichen sind hat Mathematik kommen aus ihm heraus, zum Beispiel Pythagoras' Theorum sin(), cos() tan(), und der Beweis, der die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten eine gerade Linie, etc. ist.

Fraktalgeometrie definiert auch Formen von Regeln, aber diese Regeln anders als die, die in der klassischen Geometrie sind. In der Fraktalgeometrie eine Form erfolgt in zwei Schritten: zuerst durch machen in der Regel über eine bestimmte (in der Regel klassisch geometrischen) Form zu ändern. Diese Regel wird dann auf die Form wieder und wieder bis unendlich angewendet. Wenn es in der Regel eine Funktion aufgerufen wird, so was passiert, dass ist Sie etwas ändern, wird eine Funktion in Mathematik auf eine Form rekursiv, wie das folgende Diagramm angewendet.

Nachdem es unendlich oft wiederholt hat, ist die fraktale Form produziert. Diese Funktionen sind was dann? Was meinst du mit unendlich wiederholen? Wie immer ist dies am besten erklärt anhand eines Beispiels...

Eine gute fraktale Form nennt man die von Koch-Kurve. Die Regeln oder Funktion, sind extrem einfach. Zunächst beginnen Sie mit einer geraden Linie. Dies ist Ihre "ursprüngliche Form":

Die Regeln sind wie folgt:

(1) jede geraden Linie in 3 gleich große Segmente aufgeteilt.

2. ersetzen Sie das mittlere Segment durch ein gleichseitiges Dreieck, und entfernen Sie die Seite des Dreiecks entspricht der ersten geraden.

Der Prozess ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Dies ist, was passiert mit der geraden Linie, unsere ursprüngliche Form, wenn es die Funktion das erste Mal, die erste Iteration durchläuft. Nun ist die Form, die sie hervorgebracht hat wieder die Funktion wieder für eine zweite Iteration zugeführt:

Denken Sie daran, die Regel war, dass jede gerader Linie aufgeteilt würde in Drittel, so, jetzt sind 4 Zeilen aufgeteilt und in Dreiecken gebildet. Die Form, die entsteht, nachdem die zweite Iteration durch die Funktion dann ein drittes Mal gefüttert ist. Dies wird schwer zu zeichnen in MS Paint, also habe ich ein paar Bilder von dieser Website für die nächsten Etappen:

Nachdem dies unendlich oft wiederholt hat ist die fraktale Form definiert. Das klingt verwirrend, aber es ist noch möglich, mathematisch zu analysieren und visuell können Sie sehen, was die Form aussehen beginnt. Das GIF-Bild unten (aus Wikipedia) ist ein gutes Beispiel dafür, wie die Kurve aussieht, durch Zoomen in drauf:

Die von Koch-Kurve ist ein großartiges Beispiel für ein Fraktal: die Regel, die Sie anwenden, ist einfach, aber es ergibt sich eine komplexe Form. Diese Art von Form ist unmöglich, definieren Sie mit herkömmlichen Mathe, noch so einfach zu definieren, mit Fraktalgeometrie.

Also wen interessiert die von Koch-Kurve? Ist nicht es nur Mathematiker Zeitverlust auf seltsame Formen? Ich denke, das hängt davon ab, wie man es betrachtet, aber ich bin überzeugt, dass es nützlich ist, weil es genauso aus wie eine Schneeflocke sieht. Dieses wird klarer, wenn die ursprüngliche Form, die, der Sie beginnen mit, einer geraden Linie, anstatt eines Dreiecks ist gebildet:

Es gibt eine ganze Debatte auf den Zweck der Mathematik zu haben, aber als Ingenieur bin ich geneigt zu sagen, dass eines ihrer Ziele ist zu versuchen und die Welt um uns herum zu replizieren. Die Formen, die kommen von Fraktalen Mathematik sind so anders als konventionelle mathematische Formen und so ähnlich wie die Welt um uns, die nicht helfen, aber lassen Sie sich von diesem Thema. Zwei andere Formen, die Favoriten von mir sind sind die Barnsley Fern:

Und Fraktale Bäume:

Das sind keine Zeichnungen oder Bilder, sondern mathematische Formen. Schaut man sich die Formen können Sie sehen, welche Funktion sich wiederholt. Zum Beispiel ist die Funktion auf der Barsley Farn um 30 oder so senkrecht Linien aus jede gerade Linie zu zeichnen. Die Funktion wiederholt sich an und sieht aus wie ein Farn. Auf dem Baum können Sie sehen, dass jede Zeile zweimal, die die Funktion sein wird, die sich wiederholt verzweigt. Eine weitere Eigenschaft über diese Formen (wenn auch nicht unbedingt für alle Fraktale) ist, dass sie selbstähnliche. Dies bedeutet, dass die Form selbst aussieht, sosehr Sie vergrößern oder verkleinern. Zum Beispiel auf dem Baum oben, würde wenn Sie einen Abzweig schnappte und stand auf, es der ursprüngliche Baum aussehen. Wenn Sie einen Zweig aus dem Zweig nahm und stand auf, würde es immer noch der ursprüngliche Baum aussehen. Auch ist dies eine Eigenschaft, die tritt in der Natur, aber bis die Fraktalgeometrie es kein guter Weg, um es in Mathematik gestellt war.

Nicht nur haben diese Formen sehen aus wie natürliche Objekte, sondern der Prozess der Iteration klingt intuitiv, wenn man über Natur. Wenn ein Baum wächst, seinem Stamm Zweige erstellen, diese Zweige erstellen weitere Niederlassungen, diese Zweige Zweige zu erstellen. Es ist als ob die Funktion einen genetischen Code der Branche erzählen, wie Sie wachsen und sich zu wiederholen, Formen, die "natürliche" sind schließlich die Schaffung. Das klingt wie Pseudo-Wissenschaft (es ist auf jeden Fall), aber ich denke, dies sind Konzepte Überlegung wert wenn Sie in der Lage, die Natur nachzuahmen, so eng sind.

Direkt Zeit über die Natur, um zu reden, wie Fraktale verrückt Dimensionen haben.

Abmessungen

Also jetzt wissen wir, was fraktale Formen sind und wie man sie macht, möchten wir ein paar Dinge über sie wissen. Einer der Ihnen erste Dinge zu versuchen und herauszufinden, ist die Länge von einigen dieser Formen. Gehen Sie wir zurück zu der von Koch-Kurve.

Um herauszufinden, wie lange die volle von Koch-Kurve ist (nachdem eine unendliche Menge an Zeit wird iteriert werden), ist es sinnvoll zu überlegen, was passiert in der ersten Phase wieder:

Die Strecke gliedert sich in drei, dann der mittlere Abschnitt wird durch zwei Linien, die sind so lang wie es (wie es eine gleiche Dreieck) ersetzt. Wenn der ursprünglichen Geraden eine Länge von 1 hatte, also die Länge der Kurve nach der ersten Iteration 4/3. Es stellt sich heraus, dass jedes Mal, wenn Sie die Form durchlaufen, es 4/3 länger wird. So ist die Länge der Kurve nach dem zweiten Durchlauf 4/3 x 4/3 = 16/9:

Als 4/3 größer als 1 ist, wird die Zeile länger, jedes Mal, wenn es über die Funktion iteriert wird. Wie Sie die Funktion unendlich oft durchlaufen, hat die voll von Koch-Kurve einen Umfang, der unendlich lang ist! Dies ist der Fall für alle fraktale Formen: sie haben unendlich lang Umfänge. Das ist nicht nützlich für Mathematiker, so messen sie den Umfang der Form nicht. Jetzt die nächsten Absätzen ein wenig des abstrakten Denkens erfordern, aber wenn Sie denken ein bisschen über den Tellerrand hinaus, macht es Sinn.

Der Umfang misst die Länge um etwas. Länge misst 1 dimensionalen Raum. Länge ist 1D, weil es nur eine gerade Linie misst. Ein 2D Maß des Raumes ist Bereich, 3D ist Volumen. Nun wir gezeigt haben, dass es nicht sinnvoll, fraktale Muster in 1 Dimension zu messen, wie sie unendlich lang sind, aber merkwürdig ist, dass fraktale Formen nicht 1D sind, 2D oder 3D. Jedes Fraktal-Shape hat eigene einzigartige Dimension, die in der Regel eine Zahl mit einer Nachkommastelle.

Die Dimension einer fraktalen Form ist ein Maß dafür wie schnell die Form wird komplizierter, wenn Sie es durchlaufen werden. Was bedeuten wir durch immer kompliziert? Auch in der von Koch-Kurve sehen Sie, dass die ersten Iterationen ganz einfache Formen zu produzieren, aber bei über Iteration 4 es beginnt zu recht klein und komplexe.

Die Art und Weise, wie schnelle eine Form zu messen wird komplizierter, und daher seine Dimension ist zu messen, wie viel mehr der Umfang nach jeder Iteration wird. Dies ist sinnvoll, intuitiv, als ob die Linie nach jeder Iteration viel länger wird es wahrscheinlich immer sehr kompliziert sehr schnell während die Linie bleibt ziemlich genau die gleiche Länge nach jeder Iteration dann es wahrscheinlich sehr komplex ist nicht immer.

Wie wir bereits gezeigt haben, wird die von Koch-Kurve 4/3 länger jeder Iteration. Dies bedeutet, dass die von Koch-Kurve 4/3-D oder 1.3333... D. ziemlich verrückt nicht wahr? Es existiert irgendwo zwischen 1D und 2D. Aber diese Maßnahme ist wirklich sinnvoll, Mathematiker, da sie Informationen über die Form gibt (während Umfang nicht, es ist immer unendlich). Zum Beispiel gab es ein weiteres Fraktal-Form, die 1.93D war, man könnte sagen mit Vertrauen, das diese Form komplexe schneller als die von Koch bekommt-Kurve, die Perimeter 1,93 Mal länger nach jeder Iteration anstatt 1.3333, was bedeutet es wird komplex schneller. Wenn eine fraktale Form zu studieren, wissen, seine Dimension von wesentlicher Bedeutung ist.

Zufälligkeit

Das letzte, was, das ich reden will, ist die Tatsache, dass die Zufälligkeit in fraktale Formen eingefügt werden kann. Zufällige (oder scheinbar zufällige) Ereignisse kommen in der Natur ständig und verschiedene Dinge in einer Vielzahl von verschiedenen Möglichkeiten beeinflussen, zum Beispiel ein großer Teil der Information Engineering ist der Umgang mit Lärm, die nach dem Zufallsprinzip ein elektronisches Signal schwankt. Beim Versuch, dies zu replizieren, fügen Sie in der Regel Zufälligkeit auf ein Signal. Zum Beispiel in der Elektronik würde Sie erstellen eine schöne Sinuskurve und fügen es Lärm oben drauf (entlehnt aus dieser Website):

Das untere Bild ist die "reine" Welle und das obere Bild ist die Welle mit Rauschen auf. Eine inhärente Annahme dabei ist, dass es eine zugrunde liegende "reine" Signal, welches nach dem Zufallsprinzip geändert wird. Während dies für eine Menge Elektronik zutreffen mag, kann nicht das gleiche für die Natur gesagt. Oft gibt es keine "reine" Form, die nach dem Zufallsprinzip an den Rändern geändert wird (z. B. gibt es nicht viele unscharfe Plätzen in der Natur), aber eher Zufall bewirkt die Struktur der Form selbst in jeder Phase seiner Entwicklung. Klassische Geometrie ist nicht gut bei Einbeziehung Zufälligkeit zu Formen, während Fraktalgeometrie kann es einfach tun. Für das letzte lässt Zeit, die von Koch-Kurve zu drehen. Aber diesmal fügen wir Zufälligkeit hinein.

Wir wissen, dass die Regel ist, dass für jede Iteration ein Dreieck im mittleren Drittel einer Zeile erstellt wird. Aber jedes Mal die Dreiecke immer "nach außen" konfrontiert. Wir können Zufälligkeit einfügen, indem Sie sagen, dass für jedes Dreieck erstellt, es oberhalb der Linie oder unterhalb der Linie je nach eine Münze zu werfen geht:

Jetzt wird die Form nach dem Zufallsprinzip entsprechend den Münzwurf entwickeln. Zum Beispiel kann nach mehreren Iterationen die von Koch-Kurve wie folgt aussehen:

Oder es kann ganz anders aussehen. Cool darüber ist, dass Sie Zufälligkeit in der Form selbst anstatt es auf ein vorhandenes Symbol einfügen können. Dies hat spannende Möglichkeiten, zum Beispiel (zurück zur Natur) Dies kann ein guter Weg, um zufällige Genmutationen Modell sein.

Dieser Blog-Eintrag hat eine kurze Einführung in die Fraktalgeometrie zur Verfügung gestellt. Ich hoffe, dass Sie es interessant gefunden haben!

Dieser Artikel erschien ursprünglich auf George Dallass blog . Es ist hier mit Genehmigung des Autors veröffentlicht.