Wie Schwerkraft wäre anders, wenn die Welt eines Würfels

Vielleicht wäre der Hauptunterschied wäre die Erde ein Cube, dass Studenten viel mehr frustriert versucht, das Gravitationsfeld zu berechnen werden würde. Für eine gleichmäßige Würfel mit Seitenlänge L und Dichte Rho ist durch die Gravitationskraft auf Masse m an Position (X, y, Z) gegeben.

mit

wo sind Alpha, Beta und Gamma + /-1. Dies ist die X-Komponente der Kraft. Symmetrie, y und Z-Komponenten erhalten durch den Austausch von y für x und z für x in der obigen Gleichung. (Es ist nur eine Frage der Integration von Newtons Gesetz der Schwerkraft auf den Würfel, aber es wird ein wenig chaotisch.)

Wenn wir wollen, dass eine kubische Erde bei gleicher Masse als Kugelgestalt der Erde, wir bekommen L = 9340 km. Lassen Sie uns beiseite die Sorge, dass solche Planeten möglicherweise nicht sehr lange stabil, und werfen Sie einen Blick auf seine Eigenschaften.

Die Grafiken unten zeigen Kraftlinien in blau und Potentialausgleich Linien in violett für zwei verschiedene Scheiben durch die Würfel wie dargestellt. Das schwarze Quadrat (Rechteck) zeigt die Grenze des Würfels.

Zunächst feststellen Sie, dass an der Oberfläche des Würfels, die Kraftlinien in der Regel nicht senkrecht auf die Seiten des Würfels sind. Wenn Sie auf den Würfel stehen, würden Sie daher wahrnehmen, dass Sie an einem Hang stehen würden. Der scheinbare Winkel der dieser Neigung erhält durch den Winkel der Gravitationskraft im Verhältnis zur Fläche des Würfels. Die folgende Grafik zeigt dies der Winkel als Funktion der position auf einer Seite des Würfels wahrgenommen.

Die scheinbare Neigung liegt in der Nähe von den Ecken des Würfels, bis hin zu etwa 50 Grad aus der horizontalen. Beachten Sie, dass wenn Sie auf eine Seite des Würfels standen, Sie nicht die Oberfläche sehen würde wie in der Abbildung oben gezeigt. Die Oberfläche scheint völlig flach, weil es ist. Wenn Sie waren auf einer kugelförmigen Erde leben, (wie wir) schon gewöhnt, ich glaube, Sie würde das Gefühl, die gesamte Fläche des Würfels standen Sie auf in einem festen Winkel geneigt waren, und dieser Winkel würde davon abhängen, wo auf dem Gesicht Sie standen.

Zweitens: nehmen wir einen Blick auf den Potentialausgleich Linien in den Diagrammen oben. Diese Linien, gezeigt in lila, sind Linien, entlang, die derer die potenzielle Energie konstant ist. Wenn die Erde Wasser gleichmäßig auf die Flächen des Würfels verteilt waren, würde es mit der Oberfläche ein Potentialausgleich entlang liegen. Nehmen wir das Gesamtvolumen des Wassers auf der Erde (~1.4e9 km ^ 3), ich schätze, dass die sechs Ozeane auf jedes Gesicht sitzen würde, erstreckt sich über L/5 von der Mitte des Gesichts, und mit einer Höhe in der Mitte von ca. 0,03 L. Vielleicht entspricht dies der Potentialausgleich Linie am nächsten an der Seite des Würfels in den Diagrammen oben. Das heißt, jedes Meer wäre eine Scheibenform mit einem runden, etwas quadriert weg, Perimeter. Diese Linse Formen etwa 4000 km über, und in der Mitte wäre würde bis ca. 300km von der Seite des Würfels verlängern.

Der Potentialausgleich Linien kennzeichnen auch eine Linie entlang der Luftdruck konstant sein würde. Aus der Grafik rechts oben sehen wir, dass der atmosphärische Druck auf eine der Ecken identisch mit dem Druck ca. 0,22 L (2200 km) über der Mitte des Gesichts ist. Da, wie an Kugelgestalt der Erde, die Grenze zwischen der Atmosphäre und Raum irgendwo rund 100 km sein als, würde die gleiche Atmosphäre auf der kubischen Erde die Ecken des Würfels ziemlich weit außerhalb der Erdatmosphäre verlassen. In der Tat, wenn wir einen bestimmten Druck als die Grenze zwischen Atmosphäre und Raum wählen, sähe diese Grenze ähnlich wie die oben beschriebenen, für die Ozeane, aber etwas größere Glasform.

Eine weitere Eigenschaft der kubischen Erde Gravitationspotential ist, dass auf Sie wirkende Kraft verringern würde, wie Sie von der Mitte des Gesichts in einer Ecke verschoben. Die folgende Grafik zeigt die Gesamtkraft, die auf eine Person 100kg als Funktion der Position auf einer Fläche des Würfels, dividiert durch die Erdbeschleunigung g an der Oberfläche der Kugelgestalt der Erde. Durch die Aufteilung der Kraft von g, sehen wir Ihre "scheinbare Masse" - die Masse, die das gleiche auf der kugelförmigen Erde fühlen würde.

Beachten Sie, dass sogar in der Mitte des Gesichts, Sie leichter als auf Kugelgestalt der Erde sind, und Ihr Gewicht nimmt deutlich ab, wie Sie an den Ecken zu reisen.

Ein letzter Punkt des Interesses ist zu schauen, wie die Gravitationskraft mit der Entfernung aus dem Cube skaliert. Auf der kugelförmigen Erde Schwerkraft verringert sich entsprechend umgekehrtes Quadrat der Entfernung vom Mittelpunkt der Erde (F ~ 1/R ^ 2). Das Verhalten ist komplizierter für kubische Erde. Die folgende Grafik zeigt die Kraft des r durch die Gravitationskraft entlang einer Linie erstreckt sich senkrecht von den Mittelpunkt einer Fläche ändert.

Bei großen Entfernungen (> 1 oder 2 L), fällt die Kraft als 1/R ^ 2. Auf diese Entfernung ist die besondere Form eigentlich egal. Aber in engeren Abstand der Kraft fällt mehr nähert sich langsam, 1/R nahe der Oberfläche.

Was ist mit Potentialausgleich Flächen, Umfang der Ozeane und Atmosphären und Fluchtgeschwindigkeit?

Ich war nicht in der Lage, einen Ausdruck für das Gravitationspotential eines Würfels, analytisch zu finden, so musste ich einfach Mathematica numerisch integrieren das Gravitationsfeld einen Weg vom Ursprung zum Punkt von Interesse. Aus diesem Grund finden wir quantitative Werte des Potenzials. Potentialausgleich Linien können auch numerisch ausgewertet werden, durch das lösen einer Differentialgleichung um Linien zu finden, die immer senkrecht zum Gravitationsfeld sind.

Die folgende Abbildung zeigt zwei Potentialausgleich Linien, wo die vertikale Achse erstrecken sich von der Mitte des Gesichts und die horizontale Achse erstreckt sich bis zur Mitte der Kante. So nah an der Oberfläche, die Potentialausgleich Oberflächen sind ganz rund (siehe unten), so dass die Potentialausgleich Oberfläche, die diese Zeile enthält angenähert werden kann, durch die Linie um die Hochachse dreht. Aus diesem Drehfläche berechnen wir das Volumen zwischen den Würfel und diese Fläche enthalten. Die violette Linie in der Abbildung zeigt die ungefähre Fläche des Ozeans, wenn die Gesichter der Erde Wasser gleichmäßig verteilt waren. Wenn die Atmosphäre ist so, dass Druck 1 atm an der Oberfläche des Ozeans, und wir gehen davon aus, dass Druck exponentiell abnimmt (ein ziemlich guter Näherung), dann die Grenze zwischen "Atmosphäre" und "Raum" etwa auf der blauen Linie Potentialausgleich wäre. (Diese Grenze ist bei den gleichen Druck wie bei 100 km über der Oberfläche der kugelförmigen Erde zu gewählt.) Interessanterweise sehen wir, dass die große Mehrheit der Cube-Fläche außerhalb der Erdatmosphäre. Da Menschen nur bei ca. 10 km über der Erdoberfläche überleben können, bedeutet dies, dass die bewohnbare Land auf dem Würfel ein schmaler Ring um den Ozeanen, ca. 10 km breit wäre.

Es ist interessant, einen Blick auf die Potentialausgleich Oberflächen aussehen. Die folgende Abbildung zeigt 4 Potentialausgleich Flächen außerhalb der Würfel bei steigenden Werten des Potenzials. Die linke Abbildung zeigt die Form der Ozeane, und die zweite, linke Abbildung zeigt die Grenze der Atmosphäre, wie oben beschrieben.

Wir können nun leicht der Krümmungsradius der Potentialausgleich Oberflächen zu jedem Zeitpunkt berechnen. Die folgende Abbildung zeigt der Krümmungsradius R der Potentialausgleich Oberfläche an einem Punkt eine Entfernung X von der Mitte des Würfels, in Richtung der Mitte des Gesichts. Zum Vergleich ist der Krümmungsradius in einem kugelsymmetrischen Potential gezeigt, mit den besonderen Wert der Erdradius angegeben.

Wir sehen, dass wenn die Erdung Oberfläche weit von der Oberfläche des Würfels ist, die Krümmung ungefähr das gleiche, ist als wären die Masse kugelsymmetrischen. In der Nähe von der Oberfläche (wo sehen wir den Knick), den Radius der Krümmung erhöht, was bedeutet, dass die Potentialausgleich Oberfläche abgeflacht ist, spiegelt die Form des Würfels.

Insbesondere ist der Radius von Biegung an der Spitze des Ozeans etwa 8830 km (für die Oberfläche der Ozeane, wir können davon ausgehen, dass die Oberfläche kugelförmig, so der Krümmungsradius überall gleich ist.) Beachten Sie, dass die Spitze des Ozeans etwa 4770km vom Zentrum des Würfels, ist so ist dies ganz in der Nähe der Knick oben. Diese der Krümmungsradius ist größer als der Radius der Biegung von der Kugelgestalt der Erde (6400km). Dies führt zu einem Horizont, der etwas weiter entfernt, ebenso wie aus der gleichen Höhe über der Wasseroberfläche zu sehen wäre. (Bei 10m über der Oberfläche des Ozeans ist der Horizont 13km auf dem Würfel und 11km auf der Erde.) Eine interessante Beobachtung ist, dass wenn Sie in einem Schiff aus der Mitte des Ozeans in Richtung Ufer segelten, das erste Land zu Anzeigen kommen einem sehr weit entfernten Rand oder Scheitelpunkt des Würfels wäre. Ein Scheitelpunkt könnte ins Blickfeld in weniger als 130 km von der Mitte des Ozeans kommen. Das Ufer würde nicht ins Blickfeld kommen, bis es über den Horizont, ca. 1300 km von der Mitte des Ozeans (und 13 km von der Küste entfernt) war.

Mit das Gravitationspotential können wir auch leicht die Fluchtgeschwindigkeit - die Geschwindigkeit berechnen musst du irgendwo auf ein Objekt auf dem Würfel geben, sodass es weg von der Cube für immer (weder im Herbst wieder nach unten oder gehen Sie in den Orbit) verschoben werden würde. Dies ist nur die Geschwindigkeit, wo die kinetische Energie gleich der Änderung in potentielle Energie von der Oberfläche bis ins Unendliche ist. An einem Scheitelpunkt ist die Fluchtgeschwindigkeit ca. 6050 m/s. In der Mitte des Gesichts ist es etwa 7470 m/s. Dies ist vergleichbar mit Fluchtgeschwindigkeit auf der Oberfläche der Erde, etwa 11000 m/s. Wenn der Würfel mit einer Frist von 24 Stunden dreht, die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dem Würfel werden viel weniger als die Fluchtgeschwindigkeit (was auch der Fall für die Kugelgestalt der Erde). Im besten Fall ist der Würfel um eine Achse durch die Mitte von zwei gegenüberliegenden Kanten dreht Szenario dann am weitesten out-Point an einem der Eckpunkte mit ca. 600m/s bewegt.

Bild: Shutterstock/Anton Balazh

Dieser Beitrag wurde mit freundlicher Genehmigung von Jesse Berezovsky, Professor für Physik an der Case Western Reserve University neu aufgelegt. Es erschien ursprünglich auf Quora.