Diese Geheimnisse der Mathematik machen Einmaleins Liebe

Die meisten Leute werden wahrscheinlich die Tabellen von der Grundschule Quiz Zeiten erinnern. Möglicherweise gibt es Muster in einigen von ihnen (die einfache Verdoppelung der 2 Mal Tabelle) aber andere Sie nur auswendig gelernt. Und es war nie ganz klar, nur warum war es notwendig zu wissen, welche 7 x 9 Weg von der Oberseite des Kopfes ist.

Nun, habt keine Angst, es werden hier keine Nummer Quiz. Stattdessen möchte ich Ihnen zeigen, einen Weg, um Zahlen zu bauen, die gibt ihnen etwas Struktur und wie Multiplikation dieser Struktur verwendet.

Verständnis-Multiplikation

Multiplikation gibt Ihnen einfach die Fläche eines Rechtecks, wenn Sie wissen, dass die Längen der Seiten. Wählen Sie ein Quadrat im Raster (zum Beispiel nehmen wir den 7. Eintrag in der 5. Reihe) und Farbe ein Rechteck aus dem Quadrat in der oberen linken Ecke.

Ein Rechteck der Größe 5 × 7 in das Einmaleins.

Dieses Rechteck hat 7 Länge und Höhe 5, und das Gebiet (die Anzahl der grünen Quadrate) findet sich in den blauen Kreis in der rechten unteren Ecke! Dies gilt unabhängig davon, welche zwei Zahlen im Raster Sie wählen.

Jetzt nehmen wir dieses Rechteck und drehen Sie sie um die Hauptdiagonale (rote gestrichelte Linie).

Die Länge und Höhe des Rechtecks haben getauscht, aber die Gegend nicht verändert. Daraus können wir sehen, dass 5 × 7 7 × 5 identisch ist. Dies gilt auch für jedes Paar von Zahlen-Mathematik wir sagen, dass die Multiplikation kommutative ist.

Aber diese Tatsache bedeutet, dass es eine Symmetrie in das Einmaleins. Die Zahlen über die Diagonale Linie sind wie ein Spiegelbild der Zahlen unter dem Strich.

Also, wenn Ihr Ziel ist es, die Tabelle auswendig lernen Sie wirklich brauchen nur etwa die Hälfte davon merken.

Die Bausteine von Zahlen

Um weiter zu gehen mit Multiplikation müssen wir zunächst einige teilen zu tun. Beachten Sie, dass nur eine Anzahl dividiert bedeutet in gleich große Stücke brechen.

12 ÷ 3 = 4

Dies bedeutet, dass 12 in 3 Stücke, jede Größe 4 gebrochen werden kann.

Da 3 und 4 beide Ganzzahlen sind, man nennt Sie Faktoren von 12 und 12 soll durch 3 und durch 4 teilbar sein. Wenn eine Zahl nur durch sich selbst und 1 teilbar ist, nennt man Primzahl.

Aber es gibt mehr als einen Weg, 12 als Produkt der beiden Zahlen zu schreiben:

12 × 1

6 × 2

4 × 3

3 × 4

2 × 6

1 × 12

In der Tat können wir dies sehen, betrachten wir das Einmaleins.

Die Exemplare von 12 in das Einmaleins.

Die Anzahl der farbigen Quadrate in diesem Bild sagt Ihnen, es gibt sechs Möglichkeiten, wie, die Sie ein Rechteck von Bereich 12 mit ganzzahligen Seitenlängen vornehmen können. So ist es auch die Anzahl der Möglichkeiten, die Sie als Produkt von zwei Zahlen 12 schreiben können.

Übrigens, Sie festgestellt haben, dass die farbigen Quadrate scheinen eine glatte Kurve bilden – sie tun! Die Kurve verbinden die Quadrate ist bekannt als eine Hyperbel, gegeben durch die Gleichung einen × b = 12, wobei 'a' und 'b' sind nicht unbedingt ganze Zahlen.

Betrachten wir wieder die Liste der Produkte, die 12 gleich sind. Jede Zahl, die dort aufgeführt ist ein Faktor von 12. Was passiert, wenn wir Faktoren Faktoren anschauen? Jeder Faktor, der nicht Prime (außer 1) kann weitere Faktoren ab, z. B. aufgeteilt werden soll

12 = 6 × 2 = (2 × 3) × 2

12 = 4 × 3 = (2 × 2) × 3

Egal, wie wir es tun, wenn wir die Faktoren geteilt, bis wir nur mit Primzahlen übrig sind, landen wir immer mit zwei 2 und 3.

Dieses Produkt

2 × 2 × 3

heißt die erstklassige Zersetzung von 12 und ist einzigartig für diese Zahl. Es gibt nur eine Möglichkeit, eine Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben, und jedes Produkt von Primzahlen gibt eine andere Nummer. In der Mathematik ist dies als grundlegendes Theorem von Arithmetik bezeichnet.

Die erstklassige Zersetzung erzählt uns wichtige Dinge über eine Reihe in einer sehr verkürzten Weise.

Zum Beispiel von der erstklassigen Zersetzung 12 = 2 × 2 × 3 sehen sofort wir, dass 12 teilbar durch 2 und 3, und nicht durch andere Prime (z. B. 5 oder 7) ist. Wir können auch sehen, dass es ist teilbar durch das Produkt aus einer Auswahl von zwei 2 und 3, die Sie auswählen möchten.

Darüber hinaus wird ein Vielfaches von 12 auch durch die gleiche Zahl teilbar sein. Betrachten Sie 11 x 12 = 132. Dieses Ergebnis ist auch teilbar durch 1, 2, 3, 4, 6 und 12, wie 12. Multiplizieren diese mit dem Faktor von 11, finden wir, dass 132 auch durch 11, 22, 33, 44, 66 und 132 teilbar ist.

Es ist auch leicht zu sehen, wenn eine Zahl den Platz einer anderen Zahl ist: In diesem Fall muss eine gerade Anzahl von jeder Primfaktor. Z. B. 36 = 2 × 2 × 3 × 3, so dass es die Quadratwurzel von 2 × 3 = 6 ist.

Die erstklassige Zersetzung kann auch Multiplikation einfacher machen. Wenn Sie nicht, die Antwort auf 11 × 12 wissen, kann dann zu wissen, dass die erstklassige Zersetzung von 12 bedeutet, dass Sie durch die Multiplikation Schritt für Schritt arbeiten.

11 x 12

11 x 2 × 2 × 3 =

= ((11 x 2) × 2) × 3

= (22 × 2) × 3

44 × 3 =

= 132

Wenn die Primzahlen der Zersetzung klein genug sind (sagen, 2, 3 oder 5), Multiplikation ist nett und einfach, wenn ein bisschen Papier verbrauchen. So multipliziert mit 4 (= 2 x 2), 6 (= 2 x 3), 8 (= 2 x 2 x 2) oder 9 (= 3 x 3) muss keine schwierige Aufgabe sein!

Zum Beispiel, wenn Sie nicht mehr die 9mal Tabelle, es spielt keine Rolle, solange Sie zweimal mit 3 multiplizieren können. (Jedoch diese Methode nicht hilft, mit Multiplikation mit größeren Primzahlen sind hier neue Methoden erforderlich – wenn Sie nicht gesehen haben, den Trick für die 11 Mal Tabellen dieses Video zu sehen).

Also die Fähigkeit, Zahlen in ihre Primfaktoren zu brechen kann komplizierte Multiplikationen viel einfacher machen, und es noch nützlicher für größere Zahlen ist.

Beispielsweise ist die erstklassige Zersetzung von 756 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 7, also Multiplikation mit 756 einfach von jedem von diesen relativ kleinen Primzahlen multiplizieren. (Natürlich ist finden Sie die erstklassige Zersetzung einer großen Zahl in der Regel sehr schwierig ist, also es nur nützlich wenn Sie bereits wissen, was die Zersetzung ist.)

Aber darüber hinaus erstklassige Zersetzungen geben grundlegende Informationen zu zahlen. Diese Informationen sind sehr nützlich in Mathematik und in anderen Bereichen wie z.B. Kryptographie und Internet-Sicherheit. Es führt auch zu einige überraschende Muster – dies sehen, versuchen Färbung alle Vielfachen von 12 in der Tabelle und sehen was passiert. Ich lasse das für Hausaufgaben.

Anita Ponsaing ist wissenschaftliche Mitarbeiterin in Mathematik an der Universität von Melbourne.

Dieser Artikel erschien ursprünglich auf das Gespräch. Lesen Sie den original Artikel. Bild von Tiger Pixel unter Creative Commons Lizenz.