Digitaler Musik konnte nicht ohne die Fourier-Transformation existieren.

Dies ist die Fourier-Transformation. Sie können es für die Musik zu danken Sie Stream jeden Tag, drückte die Bilder im Internet Sie in winzig kleine JPG-Dateien sehen und sogar Ihre Noise-Cancelling-Kopfhörer einschalten. Hier ist, wie es funktioniert.

Die Gleichung verdankt seine macht die Art und Weise, mit der es Mathematiker der Frequenzgehalt jeglicher Art von Signal schnell verstehen kann. Es ist schon ein Kunststück. Aber nicht nur mein Wort dafür – 1867, der Physiker Lord Kelvin ausgedrückt seine unsterbliche Liebe für dieses feine Stück der Mathematik, zu. Er schrieb: "Fourier Theorem ist nicht nur eines der schönsten Ergebnisse der modernen Analyse, aber man kann sagen, ein unverzichtbares Instrument bei der Behandlung von fast allen recondite Frage in der modernen Physik zu liefern." Und so bleibt es.

Mathematik wird uns zerreißen

Die Fourier-Transformation war – vielleicht nicht überraschend – von dem Mathematiker Baron Jean Baptiste Joseph Fourier entwickelt und veröffentlicht in seinem Buch von 1822, Analytische Theorie der Wärme. Der Baron war interessiert, die Art und Weise die Wärme innen und herum Materialien floss, und bei der Untersuchung dieses Phänomens abgeleitet er seine Transformation. Zur Zeit, er würde nicht realisierten nur wie wichtig ein Beitrag machte er – nicht nur für Mathematik und Physik, aber Wissenschaft, Technik und Technologie als Ganzes.

Seinen großen Durchbruch war klar, dass komplizierte Signale dargestellt werden konnten, indem Sie einfach eine Reihe von viel einfacheren. Er entschied sich, es zu tun durch Addition Sinusoide — die oszillierenden Wellen Sie erfuhr in der High School, die zwischen Spitze und Trog mit vorhersagbarer Regelmäßigkeit zu wandern. Sagen Sie, dass Sie einen Akkord auf dem Klavier schlagen drei Tasten. Sie produzieren drei verschiedene Töne, alle mit gut definierten Frequenzen – bezeichnet als Stellplätze, wenn wir über Audio reden —, die netten, freundlichen Sinuswellen aussehen:

Aber fügen sie zusammen, und das angenehm klingender Akkord sieht eigentlich insgesamt eher unordentlich, wie folgt:

Es sieht kompliziert aus, aber wir wissen, dass grundsätzlich nur drei einfachen Sinuswellen rechtzeitig gestaffelt und addiert. Fourier Gehirnwellen war zu erkennen, das ist jedoch die endgültige Wellenform kompliziert ist, es kann immer als eine Kombination der Sinusoide dargestellt werden – auch wenn es bedeutet, mit einer unendlichen Anzahl. Das wirkliche geniale dieser Erkenntnis für mich ist, dass wenn Sie arbeiten können, die Sinusoide müssen addiert werden erstelle ich die endgültige Wellenform, Ihnen bekannte genau welche Frequenzen der Wellen müssen addiert werden – und in welchen Mengen – das Signal darstellen. Mit diesem Wissen wissen Sie die exakte Frequenzinhalt das endgültige Signal.

So wirkt die Gleichung am oberen Rand der Seite auf einen Schlag. Der Begriff x(t) steht für das große, komplizierte Signal, das Sie versuchen, von einfacheren darstellen. Die e^{— jπ2ft} Begriff sieht ein wenig erschreckend, aber es ist eigentlich nur Kürzel, die Mathematiker verwenden diese Sinusoide vertreten wir reden. Das ordentliche Bit ist die Multiplikation der beides zusammen und dann wickelte sie in ein Integral — die geschweiften Linie auf der Vorderseite und dt Begriff am Ende – erlaubt die Gleichung herausgreifen jede Frequenzkomponente des Sinuoids, die erforderlich sind, um das Signal zu vertreten. So liefert das Ergebnis der Gleichung, X(f), die Größe und Zeit Verzögerung jedes einfache Signale, die Sie addieren müssen.

D. h. die Fourier-Transformation: eine Funktion, die erklärt, genau welche Frequenzen in das ursprüngliche Signal liegen. Das mag trivial klingen. Es ist nicht

Übertragung

Stell dir vor, du bist in das Geschäft der audio-Dateien über das Internet zu senden. Sie könnte senden Sie einfach das ganze Lied der Fallleitung in der Weise das Musiklabel zunächst sie schreibt – aber sie sind ziemlich groß, auf diese Weise. Der Grund für ihre Größe ist, dass sie eine vollständige, Verlust-Less Aufnahme: jede Frequenz ist von der Aufnahme, durch Mischen, bis der letzte Track erhalten. Nehmen Sie eine Fourier-Transformation einen winzigen Ausschnitt eines Titels, und Sie werden feststellen, dass es gibt einige Frequenzanteile, die unglaublich dominant sind und andere, die kaum zu registrieren.

Die MP3-Datei-Format tut genau dies – aber es wirft auf der einen Seite die kaum wahrnehmbare Frequenzkomponenten um Platz, als auch einige der am oberen Ende unserer Hörweite zu sparen, denn wir es schwierig finden, zwischen ihnen ohnehin zu unterscheiden. Dies geschieht durch das Lied, hacken sie in Millionen von Abschnitten, Bestimmung der wichtigen Frequenzkomponenten, Müll werfen Sie diejenigen, die unwichtig, bis es fertig ist. Was übrig bleibt sind nur die wichtigsten Frequenzen – oder Notizen – in Ihre Ohren darzustellende (ziemlich genau) die Originalspur gespielt werden kann. Ach ja, und eine Datei, die weniger als ein Zehntel der Größe, auch das ist.

Es ist auch sehr ähnlich wie Ogg Vorbis, den Dateityp von Spotify für den Desktop-Client verwendet, funktioniert (eigentlich Vorbis verwendet eine schnell-als-Lightning rechnerische Version der Fourier transformieren eine diskrete Kosinus-Transformation genannt, aber es ist generell die gleiche Idee.) Übrigens, Shazam verwendet diese gleichen Transformationen auch — es hat eine Datenbank von charakteristischen Frequenzen in Songs, die es paart sich mit was Sie spielen, denn das ist zuverlässiger als die eigentlichen Audio-Aufnahme zu einem anderen passenden. Und während wir, Audio reden, Noise-cancelling Kopfhörer Fourier-Transformationen zu verwenden: ein Mikrofon zeichnet die Umgebungsgeräusche um dich herum, misst die Frequenzanteile aus dem gesamten Spektrum und dann dreht sich den Inhalt zum Hinzufügen von Sound in Ihre Audio-Mix, der die schreienden Babys zunichte machen wird und der Lärm von der Straße, die Sie umgeben.

Aber Fourier Gleichung ist nicht ein Trick Pony. Bisher habe ich nur über Zeitsignale wie Audio gesprochen – aber er entwickelte es in erster Linie ihm Probleme im Zusammenhang mit den Wärmefluss durch Materialien zu lösen helfen. Das bedeutet, dass es funktioniert auch bei Problemen, die räumliche sind. Für Forueir, die bedeutet Addition einfache Arten von 2D Wärmeströme, weitaus kompliziertere zu vertreten. Aber in der gleichen Weise die Fourier Transformation kann verwendet werden, um digitale Bilder effizienter als dabei Pixel für Pixel aufzubauen.

Verlust-weniger Bilddateien haben die Farbe jedes Pixels separat definiert. Wenn Sie eine als JPG speichern, ist das gesamte Bild in kleinere Stücke und die 2D Fourier-Transformation des Blocks genommen aufgeteilt. Das enthält eine Beschreibung der räumlichen Frequenzen wie Farbe und Helligkeit ändert sich im Laufe dieser kleinen Flecken des Bildes. Genau wie bei MP3, JPG beiseite wirft knackige einige der Hochfrequenz-Komponenten, die bei einem Bild die scharfe vorsehen, Detail. Für die meisten von uns können nicht unsere Augen wirklich feine Unterschiede in Farbe auf jeden Fall vor Ort also binning die Frequenzanteile, die Pixel zu Pixel Variation zeigt kaum noch auf jeden Fall bieten. Natürlich wenn Sie die Kompression aufdrehen Sie anfangen zu werfen niedriger und niedriger Frequenzen, auch — und das ist wenn die Dinge beginnen können, schauen Sie ein wenig blockartig, als die Farbvariationen zwischen die Unterblöcke deutlicher.

Für alle, aber die bestausgebildeten Augen und Ohren, Kompressionssysteme wie MP3- und JPG sind kaum wahrnehmbar die meiste Zeit — sie aussehen und klingen großartig, aber zu einem Bruchteil des Platzes zu verwalten, ihren Verlust-weniger Geschwister gefragt. Das heißt, sie machen digitale Bilder und Musik praktisch, ermöglicht es uns, ihnen ganz einfach teilen – eine absolut erstaunliche Leistung für eine einzelne Gleichung. Zweifellos würde Fourier, praktisch genug zu schreiben ein Buch über Wärmestrom, genehmigen.

Dieser Artikel erschien ursprünglich am 4. Mai 2015.

Körper-Bilder von Christine Daniloff/MIT.