Die 12 Tage von Pascals dreieckige Weihnachten (Op-Ed)

Zahlen (mit Symmetrie) zählen

Die zwei unmittelbare Muster, die aus dem Dreieck Wäschetrockner sind seine bilaterale Symmetrie – die linken und rechten Hälften des Baumes spiegeln einander perfekt – und der Anblick der vertrauten zählen Zahlen marschieren hinunter die inneren Diagonalen auf jeder Seite.

Am zweiten Tag von Weihnachten gab mir das Dreieck...

Potenzen von zwei

Dreieckszahlen

Wir haben bereits gesehen, die Zählung entlang der ersten inneren Diagonalen – nun lass uns zahlen richten unsere Aufmerksamkeit auf die zweite Diagonale. Angenommen Sie, Sie sind Weihnachtsleckereien für Freunde und Familie in diesem Jahr Backen und Dreiecke im Kopf haben. Wie viele Leckereien müssen Sie backen, so dass Sie diese später in einem dreieckigen Muster anordnen können?

Technisch ein Leckerbissen werden zu tun, aber das ist, was Mathematiker nennen würde eine triviale Dreieck (Ihre Freunde könnte einen bunteren Begriff zu verwenden). Drei wäre schöner.

Sie konnte Ihre Geschenk-Dreieck durch Hinzufügen einer neuen drei (für insgesamt sechs) unter Ihrer ursprünglichen kleines Dreieck – wachsen oder noch weiter durch Hinzufügen einer neuen vier (für insgesamt zehn).

Die Zahlen, die den Sweet Spot für die Erstellung von Dreiecken getroffen sind Dreieckszahlen entsprechend benannt, und unten den zweiten inneren Diagonalen auf jeder Seite erscheinen.

Am vierten Tag von Weihnachten gab mir das Dreieck...

Fibonacci

Prime... Num-Ber Dinge!

Wenn Sie jede einzelne Zahl in den ersten n Zeilen addieren, erhalten Sie die n-te Mersenne-Zahl (das ist die Zahl, die nur knapp 2 hoch n 1 fällt). Mersenne-Zahlen sind auf dem neuesten Stand der mathematischen Forschung wirklich großen Primzahlen zu finden verwendet, weil sie ein sehr interessantes Feature haben: Wenn n eine Primzahl ist, dann hie und da die n-te Zahl Mersenne Prime sowie werden.

Z. B. addiert man alles, was die Zahlen in den ersten 5 Zeilen des pascalschen Dreiecks uns gibt die 5. Mersenne nummerieren, 31 (das 1 von weniger als 2 hoch 5). Da 5 eine Primzahl ist, gibt es eine Möglichkeit, dass 31 eine Primzahl zu sein könnte... und es passiert einfach so, dass es ist. Bis heute ist die größte bekannte Mersenne ist Prime (2 hoch 20996011) minus 1 – eine Zahl mit 6320430 stellen!

Ein weiteres Pascals erstklassige Muster ist Folgendes – betrachten Sie eine Zeile für die Zählung Nummer auf der ersten inneren Diagonalen Prime (z. B. 7), ist dann jede andere Zahl in der Zeile des Dreiecks wird ein Vielfaches von diesem Primzahl. Mit Ausnahme der 1 s auf der Außenseite ist.

Am sechsten Tag von Weihnachten gab mir das Dreieck...

Verflechtung Blütenblätter

Hockeyschläger Zusatz

Ausgehend von einer der 1 s auf den äußersten Rand, addieren Sie so viele Zahlen wie Sie unten eine der Diagonalen. Überall dort, wo Sie aufhören, hier finden Sie Ihre Summe wartet nur einen diagonalen Schritt weiter – in die entgegengesetzte Richtung, wohin Sie waren (daher das "Hockey-Stick"-Muster).

Am achten Tag von Weihnachten gab mir das Dreieck...

Quadratur durch Zugabe

Binomische Koeffizienten

Pascalschen Dreieck kann sogar einige gefürchtete High School Algebra viel einfacher machen.

Wenn Sie sich in der unglücklichen Lage zu erweitern (X + y) an die Macht der n können Sie geradeaus vorbei an alle die schrecklichen Ausarbeitung zur Antwort überspringen.

Starten Sie durch Absetzen aller n die x miteinander multipliziert, und wie Sie bewegen sich von links nach rechts, 1 X zu entfernen und ersetzen Sie es mit einem y bis gibt es überhaupt keine x-links.

Sobald Sie sich all diese Begriffe hinzufügen, alles, was noch um zu tun ist, die richtigen Koeffizienten auszufüllen. Dies wäre der schwierigste Teil der Übung gäbe es nicht die Tatsache, dass Sie gerade aus Pascalschen Dreieck gelesen werden können...! Gehen Sie einfach auf die Zeile mit n auf der ersten inneren Diagonalen, und sie werden auf Sie warten.

Das Geheimnis dieses magische Verknüpfung ist das binomische Theorem für den Ausbau der Klammern - zusammen mit der Tatsache, dass die Ziffern im Pascalschen Dreieck wirklich Kombinationen in der Verkleidung sind...

Am zehnten Tag von Weihnachten gab mir das Dreieck...

Alle Kombinationen

Lassen Sie uns kurz um die historischen Wurzeln des pascalschen Dreieck wieder zurück. Wie oben erwähnt, alle Zahlen im Pascalschen Dreieck entsprechen tatsächlich Kombinationen – das heißt, sie sagen uns, genau wie viele Möglichkeiten wir eine kleine Gruppe von Objekten aus einer größeren Gruppe wählen können (wenn die Reihenfolge, in der wir Dinge wählen, spielt keine Rolle).

Kombinationen sind sehr wichtig für Wahrscheinlichkeit Theoretiker und ihre spielenden Freunde, da zählen die Anzahl der Möglichkeiten, die etwas passieren kann ist die einfachste Methode zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit es passiert.

Kombinationen können in verschiedener Weise geschrieben werden, aber die häufigste Schreibweise ist, legen Sie zwei Zahlen in ein paar Klammern – eine Spitze (um uns sagen, dass die Gesamtzahl der Objekte) und eine auf die untere Zahl (um uns sagen, wie viele dieser Objekte werden wir wählen). Diese Kombinationen Line-up perfekt mit Pascalschen Dreieck – die obere Zahl entspricht der Reihe des Dreiecks und die untere Zahl sagt uns wie weit entlang der Zeile zu gehen.

Zum Beispiel, sagen wir haben 5 Stück von Obst und Gemüse: ein APeople, ein B-Anane, eine C-Arrot, ein DUrian und eine E-Ggplant. Wir möchten wählen Sie 2 von ihnen in unserer Küche verwenden. Wie viele Wahlmöglichkeiten können wir machen?

Wir könnten sorgfältig Listen Sie alle Möglichkeiten, die (wir erinnern uns, die die Reihenfolge keine Rolle spielt) – dann hätten wir AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE und insgesamt 10 Möglichkeiten. Alternativ könnte Countdown 5 Zeilen (ab 0) und über 2 Plätze (wieder ab 0), im Pascalschen Dreieck – und auch erreichen unter der Nummer 10.

Am elften Tag der Weihnacht gab mir das Dreieck...

Befugnisse der elf

Sierpinski Fraktal!

Jetzt nicht mehr für mein all-time-Pascal Lieblingsmuster – ich nie überrascht sein, wie meine Lieblings Fraktal-Dreieck aller Zeiten heimlich sich im Pascalschen Dreieck zu versteckt.

Siepinski des Dreiecks ist die Form, die Sie beim Aufnehmen eines gleichseitigen Dreiecks, das mittlere Stück wegschneiden, die dann schneiden Sie die mittleren Stücke aus der kleinere Dreiecke, die übrig sind, dann haltet euch für immer (oder bis Sie müde werden).

Wie verhält sich dies zum Pascalschen Dreieck? Schauen Sie was passiert, wenn Sie in die ungeraden Zahlen mit einer Farbe und alle geraden Zahlen mit einer anderen Farbe schattieren!

Wir wünschen Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und ein glückliches neues Jahr; können Ihren Urlaub voller Spaß Mathe und gute Laune! Und können Ihre Weihnachtslieder werden fortan von Mathematikern unberührt.

Michael Rose nicht funktioniert für, zu konsultieren, eigene Anteile an oder von einem Unternehmen oder einer Organisation, würde profitieren von diesem Artikel, und hat keine relevanten Zugehörigkeiten, finanziert.

Dieser Artikel erschien ursprünglich in The Conversation. Lesen Sie die